質問

$$    \frac{9}{ \sqrt{48}}$$

の有理化の仕方を教えてください。

まずは分母の√の中を簡単にする

$$\begin{eqnarray}\sqrt{48}&=& \sqrt{２\times２\times２\times２\times３}  \\ &=&  \sqrt{2^2\times2^2\times3} \\ &=&  \sqrt{2^2}\times\sqrt {2^2}\times\sqrt {3} \\ &=&  2\times2\times\sqrt{3} \\ &=&  4\sqrt{3}\end{eqnarray}$$

次に分母・分子に\(\sqrt{3}\)を掛け、約分する

$$\begin{eqnarray}\frac{9\times \sqrt{3}}{ 4\sqrt{3}\times\sqrt{3}}&=&\frac{9\sqrt{3}}{12}\\&=&\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray}$$

$$答え    \frac{3\sqrt{3}}{ 4}$$

分母の有理化

分数の分母に根号（ルート）を含んだ式を変形して、分母に根号を含まない形にすることを分母の有理化といいます。

①分母の√の中がこれ以上簡単にできない場合は、分母に同じ√の値を掛ける！

例

$$ \frac{2}{ \sqrt{3}}$$

の分母を有理化してみましょう。

まず分母の √3 はこれ以上 √ の中身が簡単にできませんよね？

その場合は分母と同じ √ を掛けましょう！

$$\begin{eqnarray}\frac{2}{ \sqrt{3}}&=&\frac{2\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\&=&\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{eqnarray}$$

②分母の√の中が簡単にできる場合は、簡単にしてから、その値を掛ける！

例

$$ \frac{5}{ \sqrt{12}}$$

の分母を有理化してみましょう。

次は分母の √12 は √ の中身が簡単にできます。

その場合は分母の √ の中を簡単にしましょう。

$$\begin{eqnarray}\sqrt{12}&=& \sqrt{2\times2\times3}  \\ &=&  \sqrt{2^2\times3} \\ &=&  \sqrt{2^2}\times\sqrt {3} \\ &=&  2\times\sqrt{3} \\ &=&  2\sqrt{3}\end{eqnarray}$$

すると

$$ \frac{5}{ 2\sqrt{3}}$$

となります。あとは分母の √3 を分母・分子に掛けてあげましょう。

$$\begin{eqnarray}\frac{5}{ 2\sqrt{3}}&=&\frac{5\times \sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}&=&\frac{5\sqrt{3}}{6}\end{eqnarray}$$

$$答え    \frac{5\sqrt{3}}{ 6}$$

練習問題

次の数の分母の有理化をしましょう。

①

$$ \frac{2}{ \sqrt{5}}$$

②

$$ \frac{3}{ \sqrt{8}}$$

答え

①

$$ \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

②

$$ \frac{3\sqrt{2}}{4}$$