この春高校一年生になったAさん、数学の授業も本格的に始まり、初めて「場合分け」が出てきたようです。

A さん

先生、今学校の数学で「絶対値の場合分け」に入ったんですけど、よくわかりません・・・

私

なるほど、じゃあ絶対値のおさらいも含めて説明していくね！

絶対値とは、「原点までの距離」

私

Aちゃんに問題、「 3  」の絶対値は？

A さん

えーと、「 3 」から「 0 」までの距離のことだから３！

私

その通り！じゃあ「 – 3 」の絶対値は？

A さん

「 – 3 」から「 0 」までの距離だから、これも「 3 」！

絶対値記号を使って ３ の絶対値のことを | 3 | と表します。

つまり

| 3 | = 3

| – 3 | = 3

ということですね！

絶対値記号の中が ＋ のときはそのまま外し、 − のときは − をかけて外せばいいわけです。

絶対値記号 | | の中が ➕ のときはそのまま、 ➖ のときは ➖ をかけてはずす！

私

じゃあ | √2 – 1 | はなんでしょう？

A さん

「 √2 」は「1.414…」だから絶対値記号の中の「 √2 – 1 」が ＋ になるので、そのまま「 √2 – 1 」ですね！

私

素晴らしい！じゃあ | 3 – π  | はどうだろう？

A さん

「 π 」って円周率ですよね？ってことは「3.141592…」だから絶対値記号の中の「 3 – π 」はマイナスになるので、「 – 3 + π 」！

あくまでも | | の中が＋のときはそのまま外し、−のときは−をかけて外します。

| √2 – 1 | = √2 – 1

| 3 – π | = – 3 + π

絶対値記号 | | の中が ＋ か − か わからない時は場合分けをする！

私

Aちゃん、いよいよ本題！ | x | はなんでしょう？

A さん

え・・・「 x 」って ＋ ？それとも − ？？

私

じゃあ「 x 」が ＋ のときはどうなるかな？

A さん

そのまま外れるので「 x 」です。

私

「 x 」が−のときはどうなる？

A さん

− をかけて外すので「 −x 」です。

私

そういうこと！このように x の値によって答えが変化するとき、それぞれの場合によって分けて書かなきゃいけないんだよ。そしてこれを「場合分け」っていうんだ

| x | の外し方

（ⅰ） x ≧ 0 のとき、| x | =  x

（ⅱ）x < 0 のとき、| x | = – x

このように（ⅰ）と（ⅱ）に分け、それぞれの場合における答えを書いていきます。

例題

| x – 2 | を求めよ。

解

（ⅰ） x – 2 ≧ 0 すなわち x ≧ 2 のとき、| x – 2 | = x – 2

（ⅱ）x – 2 < 0 すなわち x < 2 のとき、| x – 2 | = – x + 2

まとめ

①絶対値とは「原点までの距離」のこと。

②絶対値記号 | | の中が「 + 」の時はそのまま外し、「 – 」のときは 「- 」をかけて外す。

③絶対値記号 | | の中が「 + 」か「 – 」かわからない時は、それぞれの場合に分けて外す。

今日はまずこの 3 つを徹底させましょう！

高校数学で「絶対値」はいろんなところで出てきます。でもこの基本を押さえておけば、どんなに複雑になっても必ず対応できますよ^^