こんにちは！櫻學舎講師の山口です。
皆さんは数学の問題を解いていて、「この高次式を因数分解できれば・・・」と思ったことはありませんか？
今回は高校の数学でとても役に立つ組み立て除法について書きたいと思います。
組み立て除法とは高次式を簡単に因数分解するための方法です。組み立て除法は主に４つのステップにわかれます。
それでは詳しく説明したいと思います！
ｘ³＋ｘ²－４ｘ－４
この３次式を例に説明したいと思います。
まず、ｘ³＋ｘ²－４ｘ－４＝０の１つの解を見つけます。（三次方程式なので虚数解を含めて解は３つあります。）
ｘ＝－１のとき
－１＋１＋４－４＝０ですから、ｘ＝－１はこの方程式の解であるとわかります。
この解はもっとも見つけやすいもので良いです。
見つけるコツは係数で判断することです。係数の約数または倍数を代入してみましょう。この例の３次式の場合でしたら１、－１，２、－２あたりを代入してみると良いと思います。
次に以下のような表を作りましょう
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | １ | －４ | －４ | －１ |
ｘについている係数をｘの次数ごとに取り出して次数の高い数から左から右へ並べてください。そして一番右に１で求めた解を書いてください。
ポイントは次数ごとにしっかり区切ることです。例えば
ｘ³＋３ｘ²－２
というｘの３次式を因数分解する際に、この組み立て除法の表を作る場合は、以下のようにｘの１次の係数を０とはっきり記入する必要があります。
ｘ＝ー１がｘ³＋３ｘ²－２＝０の１つの解ですから表は以下のようになります。
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | ３ | ０ | －２ | －１ |
うっかりと左詰めにしないように気を付けてください。
これから組み立て除法のメインの計算の方法を説明します。まずはｘ³＋ｘ²－４ｘ－４を例にして因数分解してみましょう。
Ⅰ・まずは一番次数が高いものについている係数を表の一番下の行に降ろします。ここは何も考えずにおろしてしまってかまいません。
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | １ | －４ | －４ | －１ |
| １ |
Ⅱ・次に先ほど一番下の行に降ろした係数と１つの解をかけた数を２次の係数の列の真ん中の行の部分に書きます。すると表は次のようになります。
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | １ | －４ | －４ | －１ |
| －１ | ||||
| １ |
－１×１＝－１ですから、表にはー１が入ります。
Ⅲ・次は２次の係数と先ほど求めた数を足します。次の表の赤い数字と青い数字を足した数を同じ列の一番下の行に書きます。
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | １ | －４ | －４ | －１ |
| －１ | ||||
| １ | ０ |
Ⅳ・このⅡ、Ⅲの操作を１次の係数にもしてあげます。１次の係数の列の真ん中の行に入る数は２次の係数の列の一番下の数と解をかけた数です。
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | １ | －４ | －４ | －１ |
| ー１ | ０ | |||
| １ | ０ | ー４ |
０×（－１）＝０より１次の係数の列の真ん中に入る行に入る数は０で、－４＋０＝－４より、１次の係数の列の一番下に入る数はー４になります。
Ⅴ・ Ⅳと同じように０次の係数の列も計算します。
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | １ | －４ | －４ | －１ |
| ー１ | ０ | ４ | ||
| １ | ０ | ー４ | ０ |
－４×（－１）＝４より０次の係数の列の真ん中に入る数は４であり、－４＋４＝０より０次の係数の列の一番下に入る数は０となります。
ここで、０次の係数の列の一番下の数が０であれば大丈夫で、１で求めた１つの解が正しく、組み立て除法もうまくできています。
Ⅵ・ ここまで来れば因数分解完了までもう少しです。一番下の行に注目してください。
３次の係数の列の部分が、因数分解した後に出てくる２次式の２次の係数になっています。
同じように２次の係数の列の部分が１次の係数、１次の係数の列の部分が０次の係数になっています。
つまりｘ³＋ｘ²－４ｘ－４＝（ｘ＋１）（ｘ²－４）となります。
ｘ³＋３ｘ²ー２も組み立て除法で因数分解してみましょう。
表は次のようになります。
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | ３ | ０ | －２ | －１ |
| －１ | －２ | ２ | ||
| １ | ２ | －２ |
よってｘ³＋３ｘ²－２＝（ｘ＋１）（ｘ²＋２ｘー２）と因数分解できます。
組み立て除法は３次式だけでなくそれ以上の次数の式でも用いることができます。
例えばｘ⁴＋ｘ³－７ｘ²－ｘ＋６を因数分解してみましょう。
まず１つの解を見つけます。ｘ＝１のとき、ｘ⁴＋ｘ³－７ｘ²－ｘ＋６＝０となるため、ｘ＝１は１つの解ですね。
次に表を作り、計算しましょう。
| ４次の係数 | ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | １ | －７ | －１ | ６ | １ |
| １ | ２ | －５ | －６ | ||
| １ | ２ | －５ | －６ | ０ |
よって（ｘ－１）（ｘ³＋２ｘ²－５ｘ－６）と因数分解できることが分かります。ｘ³＋２ｘ²－５ｘ－６はまだ因数分解できそうですね。これも組み立て除法で因数分解してしまいましょう。
１つの解がｘ＝－１ですから、表は以下のようになります。
| ３次の係数 | ２次の係数 | １次の係数 | ０次の係数 | １つの解 |
| １ | ２ | －５ | －６ | －１ |
| －１ | －１ | ６ | ||
| １ | １ | －６ | ０ |
よってｘ⁴＋ｘ³－７ｘ²－ｘ＋６＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ²＋ｘ－６）＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ＋３）と因数分解できます。
今回の内容をまとめると以下のようになります。因数分解したい式をｆ（ｘ）とすると、
１．ｆ（ｘ）＝０となる解を一つ見つける。（ｆ（ｘ）の係数の約数や倍数から調べるのがオススメ！）
２．ｆ（ｘ）の係数をもとに表を作る。（係数が０のときに注意！）
３．表をもとに計算する。
４．表の計算結果をもとに因数分解の形を作る。
組み立て除法を使いこなせれば、高次式の因分解に時間を割くことがなくなります。
また、因数分解できるということは高次方程式を解くことにつながるため、さまざまな問題を解く時間の短縮になります。
みなさんぜひ組み立て除法をマスターしてみましょう！
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