皆さんは掛け算は得意ですか？
数が大きくなると計算するのが大変です。
200×５＝1000
掛け算を数字だけで見てしまうと200の５倍は1000。ということになります。
掛け算の数字に単位を付けてみましょう。
200円×５個＝
200ｍ×５周＝
200ml×５本＝
数字だけの掛け算と違ってイメージがわいてくると思います。
皆さんはどんな単位をつけますか？
私は、200万円×５束＝1000万円 のおこづかいが欲しいです。
さて、皆さんはおこづかいを一か月にいくらもらっていますか？
W君は高校生です。一か月に５千円のおこづかいをもらっています。でも、もう少しおこづかいが欲しいと思っているW君はお母さんにこんな提案をしました。
「今月はおこづかいを毎日もらいたい！」
「でも最初の日は一円でいいよ。その次の日は二円、またその次の日は４円、８円、１６円という感じで僕、おこづかいをもらいたいのだけど。」
そうW君が提案したのは、前の日にもらったおこづかいの２倍の金額を次の日にもらう方法です。
さて実際に前の日の倍・倍・倍ともらっていくと、果たして３０日目にはW君はどれくらいのおこづかいをもらえるのでしょうか？
そして１日目から３０日目までのお小遣いの合計金額、一か月のおこづかいはいくらになるのでしょうか？
まず最初の２週間のW君のおこづかいを計算してみましょう！
| 1（日目） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 | 8192 |
どこまで暗算で計算出来るか試してみましょう。
1024×２＝2048
ちょっとこの辺から暗算が大変になってきました。
4096×２＝4096
4096×２＝8192
１４日目までが計算できました。一日目は一円だった君のお小遣いが１４日目には8192円になりました。掛け算の力はすごいです。８千円あったら何買おうかな？大好きなゲームソフトも買えます。漫画だって全巻大人買いもできます。想像しただけでワクワクしますね。
でも驚くのはまだ早いです。この２倍の掛け算は後半がお楽しみなのです。
では15日目から30日目のおこづかいを計算してみましょう。
| 15（日目） | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 16384 | 32768 | 65536 | 131072 | 262144 | 524288 | 1048576 |
| 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| 2097152 | 4194304 | 8388608 | 16777216 | 33554432 | 67108864 | 134217728 |
| 29 | 30 | |||||
| 268435456 | 536870912 |
28日目からはなんと単位が億円に変わりました。そして３０日目に君がもらえるお小遣いの金額は何と
536870912円
５億三千六百八十七万九百十二円
お父さんとお母さんが払えるおこづかいの金額ではなくなりました。数字を掛け算し続けるというのはこんな力を持っているのです。
W君が今月合計でいくらのお小遣いをもらえるのかは、一日目からもらった金額を足し算すれば計算できますね。小学生、中学生の皆さんは電卓で計算してみてください。
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２、、、
なんだかとても大変な計算ですね。計算機では桁が足りなくなってしまいそうです。
では小学生・中学生の皆さんにはちょっとした裏技を教えましょう。
その裏技とは
| W君が３０日目にもらった金額536870912円×２－１を計算してください。 |
なんとその答えが、W君が今月もらえるおこづかいの合計金額です。意外に簡単に計算できましたね。
さて高校生の皆さんはこんな別の方法でW君のお小遣いの合計金額が計算できると思います。
| １・２・４・８・１６・３２・６４・１２８・２５６・５１２・
この数列の一項目から３０項目までの和を求めなさい。 |
そうです。この等比数列の和を求めるとW君のお小遣いの合計金額になります。等比数列の和の公式を覚えていますか？
小学生・中学生が計算したことと、この高校生の問題、実は同じ問題の言い方を変えただけなのです。数学の世界ではこういうことがよくあると思います。ちょっと難しそうな問題でも、自分の言葉や他の言い方でで言い換えてみると案外問題文の内容がイメージしやすくなり解きやすくなることがあります。
さて高校生の皆さんはこの等比数列の和の問題が出来たでしょうか？小学生・中学生のみんなが計算した答えと同じになったでしょうか？
そうです。W君の一か月のおこづかいの合計金額は
1073741823円
１０億七千三百七十万四万千百二十三円
10億円。もう想像も出来ない金額になりました。
最初１からスタートして×２を繰り返しただけです。掛け算の力には驚いてしまいますね。本当にびっくり！です。びっくりといえば、この！マーク。このマークは実は数学で記号で使われています。高校数学で習う記号です。
３！
読み方は、さん！と驚いて大きな声で読む。わけではありませんが、半分正解です。
正しくは３の階乗と読みます。
３！＝３×２×１＝６
６！＝６×５×４×３×２×１＝７２０
階乗の計算はこんな感じになります。一つづづ小さい数をかけていきます。３！は６だったのに６！は７２０にもなります。掛け算すると、どんどん数が大きくなることに驚いた数学者がこの階乗の記号を！に決めました。数学者でさえ驚いてしまうほど掛け算の力はすごいのです。
W君の毎日のおこづかいの金額をグラフに表すとこのような形になります。
Y=２X－１のグラフです。
このW君のおこづかいが増えていく様子は、Y=２X－１というグラフで表すことが出来ます。
Yが「W君の一日のおこづかいの金額」です。
Xは何日目という値です。
Xの値が小さいうちはYの値の増え方はそれほど大きくありません。しかしXの値が大きくなってくるとYの値はぐんぐん増えていきます。数字を掛け算し続けるということは爆発的な力を持っています。
そしてこの倍・倍・倍の現象、Y=２X－１のようなグラフは何も数学の世界だけで起こっていることではありません。実は皆さんの勉強している時にも同じ様なことが起きています。
例えば英語です。中学・高校と英単語のスペルを覚えるのはとても大変です。しかしアルファベットはたったの２６文字です。たった２６文字の掛け合わせ、組み合わせで無限の単語を作ることが出来ます。これも掛け算の持つ力です。
今一生懸命に勉強している学生の皆さん。勉強することに疲れる時もあると思います。また勉強しても勉強しても、なかなか結果につながらなくて辛い時もあると思います。そんな時はちょっと休んで
Y=２X－１のグラフの形を頭の中でイメージしてみてください。
Y=２X－１のグラフ。私にはこのグラフが、あきらめずに努力し続けた人が後半になって爆発的に伸びていく、その軌跡を描いたように見えるのです。
継続は力なり。
努力は必ず報われます。