[mathjax]
こんにちは！櫻學舎講師の菊池涼です！
今回は苦手意識を持っている人も多いだろう因数分解について扱っていきたいと思います。
そもそも因数分解とは「一つの整式を、一次以上の整式の形に変形すること」を意味します。
基本的には各項に共通な式を括弧の外にくくり出せればオッケーです。
簡単なものから難しいものまで実際に計算をしながら学んでいきましょう。ポイントはパターンを見分けて適切な処理をすることです。
まずは因数分解の公式を覚えましょう。右辺を展開させて計算すると左辺になることが分かります。
1 $$ a^2+2ab+b^3=(a+b)^2 $$
$$ a^2-2ab+b^3=(a-b)^2 $$
2 $$ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $$
3 $$ x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) $$
4 $$ acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) $$
5 $$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^3) $$
$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^3) $$
6 $$ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3 $$
$$ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3 $$
(1) $$ 9a^3x^2y-45ax^3y^2+18a^2xy^3 $$
いきなり複雑な式で戸惑った方もいるかもしれませんが、よく見ると$$ 9axy $$がくくり出せることが分かります。よって答えは
$$ 9axy(a^2x-5x^2y+2ay^2) $$
括弧の中はこれ以上計算できないのでここまでで因数分解終了です。
(2) $$ 6a^3b-24ab^3 $$
まずは(1)と同じようにくくり出せるものを括弧の外に出しましょう。
$$ 6ab(a^2-4b^2) $$
すると今度は括弧内がまだ計算できることが分かります。公式2を活用すると答えは
$$ 6ab(a+2b)(a-2b) $$
です。
(3) $$ 3x^2+5x+2 $$
これは公式の３のパターンです。たすき掛けで計算すると
$$ (x+1)(3x+2) $$
と出てきれいに因数分解されます。
(4) $$ x^3-27 $$
これは公式５のパターンです。27が3の3乗だということが分かれば
$$ x^3-3^3$$
より、次のように因数分解できます。
$$ (x-3)(x^2+3x+9) $$
(5) $$ x^3+6x^2+12x+8 $$
一見複雑ですが以下のように分解してみると
$$ x^3+3・x^2・2+3・x・2^2+2^3 $$
公式６のパターンだということが分かります。よって答えは
$$ (x+2)^3 $$
このようにパターン化された公式によってほとんどの式は因数分解することができます。しかし中には複雑なものもあるので一動作加えてから計算していきましょう。
(1) $$ 2(x-1)^2-11(x-1)+15 $$
うーん、見にくい…つまりは公式にあてはめられないと思った方もいるかと思います。しかし！
$$ x-1=X $$
このように置き換えることで見慣れた形にすることができます。
$$ 2X^2-11X+15 $$
これをたすき掛けで解いて
$$ (X-3)(2X-5) $$
あとはXを元に戻せば終わりです。
$$ (x-4)(2x-7)$$
(2) $$ x^4-10x^2+9 $$
これも1と同じようにXを登場させて解いていきましょう。
$$ x^2=X $$
$$ X^2-10X+9 $$
$$ (X-1)(X-9) $$
Xを元に戻すと公式2で解き進められることが分かるので最終的に
$$ (x+1)(x-1)(x+3)(x-3) $$
という答えが出ます。途中で因数分解を終わらせないように気を付けましょう。
(1) $$ 9b^3+3ab-2a-4 $$
パッと見でこのままでは公式が使えなさそうですね。このように式が複雑であった場合でこれまでの解き方が通用しそうにないときは次数が最低の文字について整理しましょう。
今回の場合次数が最低の文字はa。よって
$$ (3b-2)a+9b^2-4 $$
aの関係のない部分を計算すると
$$ (3b-2)a+(3b+2)(3b-2) $$
となり、最終的に答えは次のように導けます。
$$ (3b-2)(a+3b+2) $$
(2) $$ x^2-xy-2y^2-x-7y-6 $$
今回は次数がxとyともに同じで次数が最低の文字は選べません。言い方を変えるとどちらを選んで計算してもオッケーです。でもこの場合は係数が1のｘを選んで計算しましょう。
$$ x^2-(y+1)x-(2y^2+7y+6) $$
後半の括弧内も因数分解して
$$ x^2-(y+1)x-(y+2)(2y+3) $$
$${x+(y+2)}{x-(2y+3)}$$
$$ (x+y+2)(x-2y-3) $$
という風に答えが出ます。文字の次数が同じ場合は1つの文字について計算しましょう。
(1) $$ x^4-7x^2y^2+y^4 $$
ちょいむず問題。別の文字に置き換えて計算できそうでできないこのパターンです。こういう場合は平方の差をつくります。
$$ (x^4+2x^2y^2+y^4)-9x^2y^2 $$
こうすることで公式2の形にすることができ因数分解できます。
$$ (x^2+y^2)^2-(3xy)^2 $$
$$ {(x^2+y^2)+3xy}{(x^2+y^2)-3xy} $$
$$ (x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2) $$
パッと見で解くのは難しいですが演習を繰り返すことで身に付けましょう。
今回は様々なタイプの因数分解の解法について扱いました。パターン分けすることでかなり解きやすくなると思います。演習を繰り返すことで計算ミスをなくしていきましょう。