こんにちは！櫻學舎講師の山口です。
今回は絶対値と絶対値を含む方程式の解き方について書いていこうと思います。
絶対値とは、ある数に対して正負を考えずにその数がどれだけの大きさを持っているかを示したものです。
わかりやすく言いかえれば、数直線上で０からどれだけ離れているかということです。
例えば、３の絶対値は３で、－２の絶対値は２となります。
ある数ｎの絶対値は｜ｎ｜と表し、｜３｜＝３、｜－２｜＝２ となります。
基本的な絶対値の外し方は上に記した通り、｜３｜＝３、｜－２｜＝２というようになります。符号を考えないというような理解で良いと思います。
次に簡単な絶対値が含まれている方程式です。
｜ｘ｜＝５
５とー５の絶対値が５であるため、この方程式の解はｘ＝５、－５となります。ｘ＝±５という書き方を一般的にします。
では、｜ｘ－２｜＝３ではどうでしょうか。
｜ｘ－２｜の絶対値が３であるので、絶対値を外して書くとｘ－２＝±３となります。３とー３の場合に分けて書くと、ｘ＝５、－１が解になります。
また、符号を変化させる方を逆にして ±（ｘ－２）＝３という風にもできます。こちらの考え方は次に説明する絶対値を複数含む方程式で役に立ちます。
絶対値を複数含む方程式を考えてみましょう。
｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＝ｘ
絶対値が複数含む場合は、
絶対値の中身がともに正（０を含む）
絶対値の中身が異符号
絶対値の中身がともに負（０を含まない）
という風に場合分けします。
絶対値の中身がともに正のとき、つまりｘ≧１、ｘ≧２のとき、方程式は２ｘ－３＝ｘとなります。解はｘ＝３となります。
ここで注意してほしいポイントは、解が定めた範囲を満たしているかです。範囲はｘ≧２であるから、ｘ＝３は満たします。
次に異符号のときです。ｘ－１≧ｘ－２だから、このときｘ－１が正、ｘ－２が負となります。１≦ｘ≺２ですね。
このとき、ｘ－１－（ｘ－２）＝ｘとなります。解はｘ＝１で定めた範囲を満たします。
最後にともに負のときです。ｘの範囲はｘ＜１のときです。このとき、－（ｘ－１）ー（ｘ－２）＝ｘとなります。
解はｘ＝１となりますが、ｘの範囲ｘ＜１を満たさないためこの解は不適切となります。
よって、｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＝ｘの解は、ｘ＝１，３となります。
｜｜ｘ－４｜－３｜＝２
絶対値のなかに絶対値がある場合は、場合分けをして一つ一つ絶対値を外していきます。
まず、内側の絶対値を外します。上の方程式はｘ≧４のとき、｜ｘ－７｜＝２、ｘ≺２のとき｜－ｘ＋１｜＝２となります。それぞれについて解いていきます。
１．ｘ≧４のとき
｜ｘ－７｜＝２はｘ－７＝±２と絶対値を外すことができます。解はｘ＝９、５となります。ともにｘ≧４を満たします。
２．ｘ＜４のとき
｜－ｘ＋１｜＝２はーｘ＋１＝±２と同じようにできます。解は、ｘ＝３、－１となります。これもｘ＜４を満たします。
絶対値を含む計算で一番重要なことは、絶対値の中身が正か負かを一つ一つ場合分けをしていくことです。
これが落ち着いてできるようになれば、絶対値がいくら複雑になっても計算することができます。
最後に解が場合分けの際に定めた範囲を満たすか確認することを忘れないでください！
絶対値の計算は問題の難易度を上げるために、様々な分野に入ってくるため、よくわからないという方はぜひ参考にしてください！