【高校数学の基礎】絶対値の意味と場合分けをやさしく解説！

こんにちは、櫻學舎です。

この春、高校生になったAさん。数学の授業が始まり、初めて「絶対値のある式の“場合分け”」という内容に触れました。

そんな声をよく聞きます。

でも大丈夫。絶対値の考え方を一緒にゆっくり復習すれば、自然と理解できるようになります。

絶対値ってなに？

まず、絶対値とは「数直線上の原点からの距離」のことを指します。

たとえば、

• |3| = 3（3は原点から3だけ離れている）
• |-3| = 3（-3も原点から3だけ離れている）

つまり、正でも負でも「0からどれだけ離れているか」が絶対値なんです。

このように、絶対値は「符号に関係なく大きさだけを示すもの」と考えるとわかりやすいです。

絶対値のはずし方

絶対値記号「| |」の中がプラスの数であることが明らかなときは、そのまま外せます。

逆に、マイナスになることが明らかな場合は、「−1をかけて符号を反転させて」外します。

具体例

• |√2 – 1| = √2 – 1　（√2 ≒ 1.414 → 正なのでそのまま）
• |3 – π| = –3 + π　（π ≒ 3.14 → 結果は負なので反転）

「場合分け」が必要なとき

では、次のような絶対値の式ではどうでしょう？

|x|

このとき、xが正か負かわからないので、絶対値をそのまま外すことができません。

こういうときに必要なのが「場合分け」です。

絶対値 |x| の場合分け

• x ≧ 0 のとき：|x| = x
• x < 0 のとき：|x| = –x

このように、xの符号に応じて処理を分けて考えるのが「場合分け」です。

例題で理解しよう：|x – 2| の場合分け

x – 2 の符号が変わるのは x = 2 のところです。

つまり、x ≧ 2 のときと、x < 2 のときで分けて考えます。

• （i）x ≧ 2 のとき：|x – 2| = x – 2
• （ii）x < 2 のとき：|x – 2| = –(x – 2) = –x + 2

これが「絶対値のある式を場合分けで解く」基本の考え方です。

まとめ

• 絶対値とは「原点からの距離」を表す
• 絶対値記号の中身が明らかに正ならそのまま、明らかに負なら符号を反転して外す
• 中身が正か負かわからないときは、条件に応じて「場合分け」する

高校数学では、絶対値を含む式がたびたび登場します。でも、この考え方をしっかり身につけておけば、どんな問題にも落ち着いて対応できるようになります。

最初は戸惑っても大丈夫。一緒に少しずつ慣れていきましょう！