【高校数学】確率漸化式の解き方｜4つの手順と基本〜発展の練習問題5問

こんにちは、櫻學舎です。

数学Bで数列を習うと、少し先に必ず出てくるのが「確率漸化式」です。サイコロや点の移動など、数学Aの確率の問題を、数列の漸化式を使って解く単元です。2つの単元がつながるため、「確率はわかるのに、漸化式にすると手が止まる」という高校2年生が少なくありません。

この記事では、確率漸化式を解くための4つの手順を整理し、基本から発展までの練習問題5問を、解答・解説つきで紹介します。手順を一度身につければ、初めて見る問題でも同じ流れで考えられるようになります。

この記事の要点

• 確率漸化式は「n回後の確率」と「n＋1回後の確率」の関係を式にして解く問題です。
• 解き方は、①状態を決める、②推移図をかく、③漸化式を立てる、④漸化式を解く、の4つの手順でほぼ共通です。
• 漸化式の多くは aₙ₊₁ = p·aₙ + q の形になり、数学Bで習う「特性方程式」で解けます。
• 状態が3つ以上あっても、「確率の合計は1」や「対称性」を使うと、文字を減らせます。
• 答えが出たら、n＝1やn＝2を代入して、直接数えた確率と一致するかを必ず確かめましょう。

確率漸化式とは？なぜ漸化式を使うのか

確率漸化式とは、操作をくり返したときの「n回後の確率」を、漸化式を使って求める問題のことです。確率は数学A、漸化式は数学Bの数列で学ぶ内容で、両方がそろう高校2年生の後半から本格的に扱われます。

直接数えるのが大変な問題を、1回分の変化で考える

たとえば「サイコロを10回投げて、6の目が偶数回出る確率」を求めるとき、0回・2回・4回…と場合分けして足すのはとても大変です。

そこで発想を変えて、「n回投げた時点の状態」から「n＋1回目に何が起きるか」だけを考えます。1回分の変化なら、場合分けは数通りで済みます。この1回分の関係を式にしたものが確率漸化式です。

確率漸化式でよく出る題材

• サイコロや硬貨をくり返し投げる問題（目の出た回数の偶奇、和の余りなど）
• 図形の頂点を点が移動する問題（三角形・正方形・正四面体など）
• 袋や箱の玉を入れ替える問題
• 天気・勝敗など、前の結果で次の確率が変わる問題

題材は違っても、考え方の流れは同じです。次の章で、その流れを4つの手順にまとめます。

確率漸化式の解き方｜4つの手順

確率漸化式は、次の4つの手順で解きます。どの問題でもこの順番で考えるのがコツです。

1. 状態を決めて、文字でおく：「n回後にAにいる確率をaₙとする」のように、何の確率を求めるかをはっきりさせます。
2. 推移図をかく：状態を丸で、移り方を矢印でかき、矢印に確率を書き込みます。
3. 漸化式を立てる：「n＋1回後にAにいる」ためには、n回後にどこにいて、どう移ればよいかを考え、足し合わせます。
4. 漸化式を解いて、検算する：数学Bで習った方法で一般項を求め、n＝1やn＝2で確かめます。

手順1：状態は「次の確率を決めるのに必要な情報」で分ける

状態の分け方は、「その情報さえわかれば、次の1回の確率が決まるか」で判断します。たとえば6の目が出た回数そのものではなく、「偶数回か奇数回か」がわかれば次の偶奇の確率は決まります。状態は少ないほど式が簡単になります。

手順2：推移図で「入ってくる矢印」を確認する

推移図をかいたら、求めたい状態に「入ってくる矢印」をすべて拾います。自分自身に戻る矢印（その場にとどまる）を見落とすミスがとても多いので、注意しましょう。

手順3：「n回後の状態で場合分け」して足す

漸化式は、次のように考えると立てやすくなります。

（n＋1回後にAにいる確率）＝（n回後にAにいる確率）×（AからAへ移る確率）＋（n回後にBにいる確率）×（BからAへ移る確率）＋…

手順4：一般項を出したら、必ず検算

確率漸化式は計算ミスが起きやすい単元です。求めた一般項にn＝1を代入し、問題文から直接計算した確率と一致するかを確かめるだけで、多くのミスに気づけます。

手順4で使う「漸化式の解き方」を復習しよう

確率漸化式で出てくる漸化式は、ほとんどが aₙ₊₁ = p·aₙ + q の形です。まずはこの型を確実に解けるようにしておきましょう。

aₙ₊₁ = p·aₙ + q の解き方（特性方程式）

1. aₙ₊₁ と aₙ を α に置きかえた式 α = pα + q を解き、α を求めます。
2. もとの式から α = pα + q を引くと、aₙ₊₁ − α = p(aₙ − α) になります。
3. 数列 {aₙ − α} は公比 p の等比数列なので、aₙ − α = (a₁ − α)·pⁿ⁻¹ です。
4. 最後に α を移項して、aₙ = α + (a₁ − α)·pⁿ⁻¹ とします。

確率の問題では、α は「回数を十分に重ねたときに近づいていく確率」を表します。たとえば α＝1/2 なら、回数を増やすほど確率は1/2に近づきます。答えの意味を確かめるヒントにもなります。

確率漸化式で出てくる漸化式の型

「a₁から始めるか、a₀（0回後）から始めるか」で、指数が n−1 になるか n になるかが変わります。問題文の初期条件をよく読みましょう。

確率漸化式の練習問題5問【解答・解説つき】

ここからは練習問題です。まずは解答を見ずに、4つの手順に沿って自分で解いてみましょう。

問題1（基本）サイコロで6の目が偶数回出る確率

問題：1個のサイコロをn回投げたとき、6の目が出る回数が偶数回（0回も含む）である確率をpₙとする。pₙをnの式で表せ。

解答：

• 状態は「6の目が偶数回」と「奇数回」の2つ。奇数回の確率は 1 − pₙ と表せるので、文字はpₙだけで済みます。
• n＋1回後に偶数回になるのは、「n回後に偶数回で、次に6以外（確率5/6）」か「n回後に奇数回で、次に6（確率1/6）」のときです。
• よって pₙ₊₁ = (5/6)pₙ + (1/6)(1 − pₙ) = (2/3)pₙ + 1/6
• 特性方程式 α = (2/3)α + 1/6 を解くと α = 1/2。pₙ₊₁ − 1/2 = (2/3)(pₙ − 1/2) です。
• 0回投げた時点では6の目は0回（偶数回）なので p₀ = 1。pₙ − 1/2 = (2/3)ⁿ(1 − 1/2) より

答え：pₙ = 1/2 + (1/2)·(2/3)ⁿ

ポイント：検算すると、p₁ = 1/2 + 1/3 = 5/6（1回目に6以外）で正しいです。また、nが大きくなるとpₙは1/2に近づきます。

問題2（基本）三角形の頂点を移動する点

問題：三角形ABCの頂点Aに点Pがある。1秒ごとに、Pは今いる頂点以外の2つの頂点のどちらかへ、それぞれ確率1/2で移動する。n秒後にPがAにいる確率をaₙとする。aₙをnの式で表せ。

解答：

• n秒後にAにいない確率は 1 − aₙ。BとCは立場が同じ（対称）なので、BにいてもCにいても、次にAへ移る確率は1/2です。
• AにいるPは次の1秒で必ずAを離れるので、aₙ₊₁ = (1 − aₙ)·1/2 = −(1/2)aₙ + 1/2
• 特性方程式 α = −(1/2)α + 1/2 より α = 1/3。aₙ₊₁ − 1/3 = −(1/2)(aₙ − 1/3)
• a₀ = 1 なので、aₙ − 1/3 = (−1/2)ⁿ(1 − 1/3)

答え：aₙ = 1/3 + (2/3)·(−1/2)ⁿ

ポイント：公比が負の数になるタイプです。a₁ = 1/3 − 1/3 = 0（1秒後は必ずAにいない）、a₂ = 1/3 + 1/6 = 1/2 で、どちらも直接考えた結果と一致します。

問題3（標準）袋の玉の入れ替え

問題：袋Aに赤玉2個、袋Bに白玉2個が入っている。「A、Bから1個ずつ玉を取り出して入れ替える」操作をくり返す。n回の操作の後、袋Aに赤玉が2個入っている確率をpₙとする（n≧1）。pₙをnの式で表せ。

解答：

• 袋Aの赤玉の数は2個・1個・0個の3つの状態があります。n回後にそれぞれである確率を pₙ、qₙ、rₙ とすると、pₙ + qₙ + rₙ = 1 です。
• 赤2個（または0個）のときは、次の操作で必ず赤1個になります。
• 赤1個のときは、A・Bとも赤1個・白1個なので、「Aから白、Bから赤」（確率1/4）で赤2個、「Aから赤、Bから白」（確率1/4）で赤0個、それ以外（確率1/2）で赤1個のままです。
• よって qₙ₊₁ = pₙ + rₙ + (1/2)qₙ = (1 − qₙ) + (1/2)qₙ = −(1/2)qₙ + 1
• α = −(1/2)α + 1 より α = 2/3。q₀ = 0 なので qₙ = 2/3 − (2/3)·(−1/2)ⁿ
• 赤2個になるのは「1つ前が赤1個で、確率1/4の入れ替えが起きる」ときだけなので、pₙ = (1/4)qₙ₋₁

答え：pₙ = 1/6 − (1/6)·(−1/2)ⁿ⁻¹（n≧1）

ポイント：状態が3つでも、「合計は1」を使えば1つの文字の漸化式になります。p₁ = 0、p₂ = 1/4 で検算できます。

問題4（標準〜発展）正方形の頂点を移動する点

問題：正方形ABCDの頂点Aに点Pがある。1秒ごとに、Pは確率1/3でその場にとどまり、確率1/3ずつで隣り合う2つの頂点のどちらかへ移動する。n秒後にPがA、Cにいる確率をそれぞれaₙ、cₙとする。aₙをnの式で表せ。

解答：

• 対称性から、Bにいる確率とDにいる確率は等しいので、どちらもbₙとおけます。aₙ + 2bₙ + cₙ = 1 です。
• Aに入ってくるのは「Aにとどまる」「BからA」「DからA」なので、aₙ₊₁ = (1/3)aₙ + (2/3)bₙ。同じように cₙ₊₁ = (1/3)cₙ + (2/3)bₙ
• 差をとると、aₙ₊₁ − cₙ₊₁ = (1/3)(aₙ − cₙ)。a₀ − c₀ = 1 なので aₙ − cₙ = (1/3)ⁿ
• 和をとり、2bₙ = 1 − (aₙ + cₙ) を使うと、aₙ₊₁ + cₙ₊₁ = −(1/3)(aₙ + cₙ) + 2/3。α = 1/2 なので aₙ + cₙ = 1/2 + (1/2)·(−1/3)ⁿ
• 和と差の式を足して2で割ります。

答え：aₙ = 1/4 + (1/4)·(−1/3)ⁿ + (1/2)·(1/3)ⁿ

ポイント：文字が2つの連立漸化式は、「和」と「差」をとると、それぞれが1つの文字の漸化式になります。a₁ = 1/4 − 1/12 + 1/6 = 1/3（その場にとどまる確率）で検算できます。

問題5（発展）硬貨の表が続けて出ない確率

問題：硬貨をn回投げるとき、表が2回以上続けて出ない確率をpₙとする。(1) pₙ₊₂ をpₙ₊₁とpₙで表せ。(2) p₆を求めよ。

解答：

• (1) n＋2回目までに表が続かない場合を、n＋2回目の結果で分けます。
• n＋2回目が裏（確率1/2）なら、n＋1回目までに表が続いていなければよいので、確率は (1/2)pₙ₊₁
• n＋2回目が表なら、n＋1回目は必ず裏で、さらにn回目までに表が続いていなければよいので、確率は (1/4)pₙ
• よって pₙ₊₂ = (1/2)pₙ₊₁ + (1/4)pₙ
• (2) p₁ = 1、p₂ = 3/4（表表の1通りだけがだめ）から、p₃ = 3/8 + 1/4 = 5/8、p₄ = 5/16 + 3/16 = 1/2、p₅ = 1/4 + 5/32 = 13/32、p₆ = 13/64 + 1/8 = 21/64

答え：(1) pₙ₊₂ = (1/2)pₙ₊₁ + (1/4)pₙ　(2) p₆ = 21/64

ポイント：最後の1回だけでは状態が決まらないとき、最後の2回まで見て場合分けすると3項間の漸化式になります。分子の2、3、5、8、13、21はフィボナッチ数列です。一般項は、特性方程式 x² = (1/2)x + 1/4 の解 (1±√5)/4 を使って求められるので、余裕があれば挑戦してみましょう。

つまずきやすいポイントと勉強の進め方

よくあるミス

高校2年生におすすめの進め方

1. 数列の基本を固める：等比数列の一般項と、aₙ₊₁ = p·aₙ + q の解き方を、何も見ずに書けるようにします。
2. 問題1・2で手順を体に覚えさせる：推移図をかく → 式を立てる → 解く → 検算、の流れを毎回声に出すくらいていねいに。
3. 問題3〜5で「文字を減らす工夫」を学ぶ：解けなかった問題は、どこで止まったかを書き残しておきます。
4. 数日あけて解き直す：一度解けた問題でも、時間をおくと手順を忘れていることがあります。

解き直しのやり方は、「解き直しで成績が変わる！中高生のための活用術」や「成績を伸ばす「解き直しノート」の作り方」でくわしく紹介しています。

また、確率漸化式は「公式を覚える」より「なぜその式になるかを理解する」ことが大切な単元です。公式の意味から考える勉強の仕方は、「三角関数の加法定理・倍角・半角の公式を完全攻略！」の考え方も参考になります。

よくある質問

Q. 確率漸化式は数学Aと数学Bのどちらの単元ですか？

確率は数学Aの「場合の数と確率」、漸化式は数学Bの「数列」で学びます。確率漸化式は、この2つを組み合わせた問題です。数列を習ってから取り組むのが一般的で、学校によって扱う時期は異なります。

Q. 推移図は毎回かかないといけませんか？

慣れるまでは毎回かくことをおすすめします。推移図があると、「入ってくる矢印」を数えるだけで漸化式が立てられ、見落としが大きく減ります。式を立てるのに慣れた人ほど、実は推移図をていねいにかいています。

Q. 漸化式は立てられるのに、解けません。

確率漸化式の問題というより、数列の計算の練習が足りていない可能性があります。aₙ₊₁ = p·aₙ + q の型だけを集めて、10問ほどくり返し解いてみましょう。解き方が手になじむと、確率漸化式の後半で止まらなくなります。

Q. 答えが合っているか不安です。

n＝1やn＝2を代入して、問題文から直接求めた確率と比べましょう。さらに、確率なので「0以上1以下になっているか」も確認すると安心です。

まとめ

確率漸化式は、「状態を決める → 推移図をかく → 漸化式を立てる → 解いて検算する」の4つの手順で解けます。難しく見える問題でも、1回分の変化だけを考えればよいので、手順どおりに進めれば必ず手がかりが見つかります。

• まずは aₙ₊₁ = p·aₙ + q の型を確実に解けるようにする
• 推移図で「入ってくる矢印」をすべて拾う
• 状態が多いときは、対称性と「合計は1」で文字を減らす
• 答えはn＝1、n＝2で必ず検算する

数列を習ったばかりの今の時期にこの型を身につけておくと、高校3年生で入試問題に取り組むときの大きな土台になります。

櫻學舎では、確率漸化式のように苦手なところを、ピンポイントで特訓することができます。「推移図はかけるのに漸化式が立てられない」「漸化式を解く計算で止まってしまう」など、つまずいている場所に絞って練習できるので、限られた時間でも効率よく苦手を克服できます。「数列や確率でつまずいている」「学校の進度に合わせて復習したい」という方は、五橋・長町の教室までお気軽にご相談ください。

参考資料

• 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」（確認日：2026年11月15日）